Автор: К.В. Ефанов
Опубликовано на портале «Химическая техника», май 2019
В нормах на тонкостенные сосуды и аппараты (до 21МПа) оценка напряженного состояния стенки аппарата производится по 3-й теории прочности [1, 2]. По этой теории в расчетной формуле присутствуют главные напряжения. Однако в формулу подставляют вместо главных напряжений кольцевые напряжения, которые относятся к теории тонких оболочек. В теории толстых оболочек, имеющую отличия от теории тонких оболочек, на определенном этапе для кубического элемента также используют вместо главных напряжений кольцевые и меридиональные [3, 4].
Кольцевые и меридиональные напряжения в рамках теории тонких оболочек [5] являются напряжениями от внутренних сил, в отличие от напряжений от давления. Эти напряжения вводятся для оболочек произвольной кривизны после выделения из стенки сосуда т.н. кольцевого сегмента (рис. 1). Главные напряжения в теории упругости относятся к кубическому элементу т.н. тензора напряжений, являющегося математическим термином, но также выделенным кубическим элементом сплошной среды с размерами, обеспечивающими условия сплошности.
По-видимому, существующий подход к оценке прочности тонкостенных корпусов аппаратов и в расчетной модели теории толстых оболочек является чрезмерно упрощенным в части прямой подстановки напряжений в терминах теории оболочек взамен главных напряжений. Такая замена происходит при приравнивании элементов кольцевого сегмента в виде трапеции с криволинейными основаниями (по радиусу) и кубического элемента тензора (как элементов сплошной среды, т.е. твердых тел). Основанием для приравнивания элементов указывается симметрия кольцевого сегмента.
Покажем отличия в направлениях главных напряжений от кольцевых и некорректность приравнивания элементов кольцевого сегмента и кубического тензора и тем самым чрезмерность существующего упрощения в теории.
Выполнение условия равновесия выделенного элемента требует равенства моментов и, соответственно, равенства касательных напряжений по смежным взаимно перпендикулярным граням элемента [6]. Для этого необходима симметрия куба тензора: равенство площадей смежных сторон с касательными напряжениями. Для какой-либо точки цилиндрической стенки сосуда совместим элементы кубического тензора напряжений и кольцевого сегмента (рис. 2). Площади перпендикулярных поверхностей кольцевого сегмента, по которым действуют парные касательные напряжения, не равны в отличие от таковых кубического тензора. За счет этого касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках кольцевого сегмента будут отличаться, и геометрия сегмента не удовлетворяет выполнению условия равенства касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам. На основании этого несмотря на симметрию сегмента его нельзя рассматривать в качестве элемента тензора напряжений. И также меридиональные и кольцевые напряжения, действующие по граням кольцевого сегмента, не являются напряжениями, действующими по граням кубического тензора главных напряжений.
Полученный результат может быть проиллюстрирован на примере балки, опертой по краям и нагруженной распределенной нагрузкой. Главные напряжения в балке отличаются по направлению от нормального напряжения по оси балки, которое будет являться в данном примере аналогом кольцевого напряжения в стенке сосуда. Величина и направление главных напряжений в какой-либо балке определяются по нормальным и касательным напряжениям, действующим по граням квадратного участка, выделенного вокруг этой точки.
Совместим в плане кольцевой сегмент и куб тензора (рис. 3). Точку приложения кольцевого напряжения перенесем по линии действия с грани кольцевого сегмента на грань кубического элемента и разложим напряжение на нормальную и касательную составляющие. Касательные напряжения уравновешивают силу внутреннего давления.
Векторы касательных напряжений, действующие на противоположных гранях кубического элемента, могут быть заменены их равнодействующим вектором, точка приложения которого может быть выбрана на противоположной грани от грани с приложенным внутренним давлением Q (рис. 4).
Направления главных напряжений внутри кубического элемента (рис. 5), определяются расчетом через направляющие косинусы или графически с использованием круговой диаграммы Мора.
Совмещение в рассматриваемой точки стенки сечений кольцевого сегмента и тензора главных напряжений (рис. 6) показывает отличия ориентации главных и кольцевых напряжений. На основании этого может быть сделан вывод о некорректности приравнивания кольцевого сегмента к кубическому тензору главных напряжений и о замене кольцевых напряжений главными напряжениями при построении теории толстых оболочек и оценке прочности тонкостенных сосудов.
Поиск напряжений по наклонным площадкам внутри кубического элемента и сравнение результатов с существующими не проводился, так как исследовалась другая задача.
Итак, полученный результат в виде «философии», затрагивающий в основании теорий тонких и толстых оболочек их общую проблему, можно использовать для дальнейшей разработки подходов к прочности сосудов и аппаратов.
Список литературы
- Бабицкий И.Ф., Вихман Г.Л., Вольфсон С.И. Расчет и конструирование аппаратуры нефтеперерабатывающих заводов. М.: Недра, 1965. 904 с.
- Вихман Г.Л., Круглов С.А. Основы конструирования аппаратов и машин нефтеперерабатывающих заводов. М.: Машиностроение, 1978. 328 с.
- Кондорф Б.А. Техника высоких давлений в химии. М.: Химия, 1952. 443 с.
- Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
- Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431 с.
- Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.