Автор: К.В. Ефанов

Опубликовано на портале «Химическая техника», май 2019

В нормах на тонкостенные сосуды и аппараты (до 21МПа) оценка напряженного состояния стенки аппарата производится по 3-й теории прочности [1, 2]. По этой теории в расчетной формуле присутствуют главные напряжения. Однако в формулу подставляют вместо главных напряжений кольцевые напряжения, которые относятся к теории тонких оболочек. В теории толстых оболочек, имеющую отличия от теории тонких оболочек, на определенном этапе для кубического элемента также используют вместо главных напряжений кольцевые и меридиональные [3, 4].

Кольцевые и меридиональные напряжения в рамках теории тонких оболочек [5] являются напряжениями от внутренних сил, в отличие от напряжений от давления. Эти напряжения вводятся для оболочек произвольной кривизны после выделения из стенки сосуда т.н. кольцевого сегмента (рис. 1). Главные напряжения в теории упругости относятся к кубическому элементу т.н. тензора напряжений, являющегося математическим термином, но также выделенным кубическим элементом сплошной среды с размерами, обеспечивающими условия сплошности.

Рис. 1. Выделение кольцевого сегмента в теории оболочек

 

По-видимому, существующий подход к оценке прочности тонкостенных корпусов аппаратов и в расчетной модели теории толстых оболочек является чрезмерно упрощенным в части прямой подстановки напряжений в терминах теории оболочек взамен главных напряжений. Такая замена происходит при приравнивании элементов кольцевого сегмента в виде трапеции с криволинейными основаниями (по радиусу) и кубического элемента тензора (как элементов сплошной среды, т.е. твердых тел). Основанием для приравнивания элементов указывается симметрия кольцевого сегмента.

Покажем отличия в направлениях главных напряжений от кольцевых и некорректность приравнивания элементов кольцевого сегмента и кубического тензора и тем самым чрезмерность существующего упрощения в теории.

Выполнение условия равновесия выделенного элемента требует равенства моментов и, соответственно, равенства касательных напряжений по смежным взаимно перпендикулярным граням элемента [6]. Для этого необходима симметрия куба тензора: равенство площадей смежных сторон с касательными напряжениями. Для какой-либо точки цилиндрической стенки сосуда совместим элементы кубического тензора напряжений и кольцевого сегмента (рис. 2). Площади перпендикулярных поверхностей кольцевого сегмента, по которым действуют парные касательные напряжения, не равны в отличие от таковых кубического тензора. За счет этого касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках кольцевого сегмента будут отличаться, и геометрия сегмента не удовлетворяет выполнению условия равенства касательных напряжений по взаимно перпендикулярным площадкам. На основании этого несмотря на симметрию сегмента его нельзя рассматривать в качестве элемента тензора напряжений. И также меридиональные и кольцевые напряжения, действующие по граням кольцевого сегмента, не являются напряжениями, действующими по граням кубического тензора главных напряжений.

 

Рис. 2. Совместное прочтение кольцевого сегмента и кубического тензора (элемента сплошной среды)

 

Полученный результат может быть проиллюстрирован на примере балки, опертой по краям и нагруженной распределенной нагрузкой. Главные напряжения в балке отличаются по направлению от нормального напряжения по оси балки, которое будет являться в данном примере аналогом кольцевого напряжения в стенке сосуда. Величина и направление главных напряжений в какой-либо балке определяются по нормальным и касательным напряжениям, действующим по граням квадратного участка, выделенного вокруг этой точки.

Совместим в плане кольцевой сегмент и куб тензора (рис. 3). Точку приложения кольцевого напряжения перенесем по линии действия с грани кольцевого сегмента на грань кубического элемента и разложим напряжение на нормальную и касательную составляющие. Касательные напряжения уравновешивают силу внутреннего давления.

Рис. 3. Совмещение сечений элементов кольцевого сегмента и кубического тензора

 

Векторы касательных напряжений, действующие на противоположных гранях кубического элемента, могут быть заменены их равнодействующим вектором, точка приложения которого может быть выбрана на противоположной грани от грани с приложенным внутренним давлением Q (рис. 4).

Рис. 4. Выделенный кубический элемент с напряжениями по граням

 

Направления главных напряжений внутри кубического элемента (рис. 5), определяются расчетом через направляющие косинусы или графически с использованием круговой диаграммы Мора.

Рис. 5. Ориентация тензора главных напряжений в точке выделенного элемента стенки
Рис. 6. Совмещение тензора главных напряжений с кольцевым сегментом стенки

 

Совмещение в рассматриваемой точки стенки сечений кольцевого сегмента и тензора главных напряжений (рис. 6) показывает отличия ориентации главных и кольцевых напряжений. На основании этого может быть сделан вывод о некорректности приравнивания кольцевого сегмента к кубическому тензору главных напряжений и о замене кольцевых напряжений главными напряжениями при построении теории толстых оболочек и оценке прочности тонкостенных сосудов.

Поиск напряжений по наклонным площадкам внутри кубического элемента и сравнение результатов с существующими не проводился, так как исследовалась другая задача.

Итак, полученный результат в виде «философии», затрагивающий в основании теорий тонких и толстых оболочек их общую проблему, можно использовать для дальнейшей разработки подходов к прочности сосудов и аппаратов.

Список литературы

  1. Бабицкий И.Ф., Вихман Г.Л., Вольфсон С.И. Расчет и конструирование аппаратуры нефтеперерабатывающих заводов. М.: Недра, 1965. 904 с.
  2. Вихман Г.Л., Круглов С.А. Основы конструирования аппаратов и машин нефтеперерабатывающих заводов. М.: Машиностроение, 1978. 328 с.
  3. Кондорф Б.А. Техника высоких давлений в химии. М.: Химия, 1952. 443 с.
  4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.
  5. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962. 431 с.
  6. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.